Diferença entre variáveis ​​aleatórias e distribuição de probabilidade

Variáveis ​​aleatórias vs Distribuição de probabilidade

Experimentos estatísticos são experimentos aleatórios que podem ser repetidos indefinidamente com um conjunto conhecido de resultados. Variáveis ​​aleatórias e distribuições de probabilidade estão associadas a esses experimentos. Para cada variável aleatória, há uma distribuição de probabilidade associada definida por uma função chamada função de distribuição cumulativa.

O que é uma variável aleatória?

Uma variável aleatória é uma função que atribui valores numéricos aos resultados de um experimento estatístico. Em outras palavras, é uma função definida do espaço amostral de um experimento estatístico para o conjunto de números reais.

Por exemplo, considere um experimento aleatório de jogar uma moeda duas vezes. Os possíveis resultados são HH, HT, TH e TT (cabeças H, cabeças T). Seja a variável X o número de cabeças observadas no experimento. Então, X pode assumir os valores 0, 1 ou 2 e é uma variável aleatória. Aqui, a variável aleatória X mapeará o conjunto S = HH, HT, TH, TT (o espaço de amostra) para o conjunto 0, 1, 2 de forma que o HH seja mapeado para 2, HT e TH são mapeados para 1 e TT é mapeado para 0. Na notação de função, isso pode ser escrito como: X: S → R onde X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 e X ( TT) = 0.

Existem dois tipos de variáveis ​​aleatórias: discretas e contínuas; portanto, o número de valores possíveis que uma variável aleatória pode assumir é no máximo contável ou não. No exemplo anterior, a variável aleatória X é uma variável aleatória discreta, pois 0, 1, 2 é um conjunto finito. Agora, considere o experimento estatístico de encontrar os pesos dos alunos em uma classe. Seja Y a variável aleatória definida como o peso de um aluno. Você pode assumir qualquer valor real dentro de um intervalo específico. Portanto, Y é uma variável aleatória contínua.

O que é uma distribuição de probabilidade?

A distribuição de probabilidade é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória assumir certos valores.

Uma função chamada função de distribuição cumulativa (F) pode ser definida do conjunto de números reais para o conjunto de números reais como F (x) = P (X ≤ x) (a probabilidade de X ser menor ou igual a x) para cada resultado possível x. Agora, a função de distribuição cumulativa de X no primeiro exemplo pode ser escrita como F (a) = 0, se um<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

No caso de variáveis ​​aleatórias discretas, uma função pode ser definida do conjunto de resultados possíveis para o conjunto de números reais de modo que ƒ (x) = P (X = x) (a probabilidade de X ser igual a x) para cada resultado possível x. Essa função em particular ƒ é chamada de função de massa de probabilidade da variável aleatória X. Agora, a função de massa de probabilidade de X no primeiro exemplo particular pode ser escrita como ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 e ƒ (x) = 0 caso contrário. Assim, a função de massa de probabilidade juntamente com a função de distribuição cumulativa descreverá a distribuição de probabilidade de X no primeiro exemplo.

No caso de variáveis ​​aleatórias contínuas, uma função denominada função densidade de probabilidade (ƒ) pode ser definida como ƒ (x) = dF (x) / dx para cada x em que F é a função de distribuição cumulativa da variável aleatória contínua. É fácil ver que essa função satisfaz ∫ƒ (x) dx = 1. A função densidade de probabilidade, juntamente com a função de distribuição cumulativa, descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Por exemplo, a distribuição normal (que é uma distribuição de probabilidade contínua) é descrita usando a função de densidade de probabilidade ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²))).