Diferença entre derivado e diferencial

Derivada vs Diferencial
 

No cálculo diferencial, derivada e diferencial de uma função estão intimamente relacionadas, mas têm significados muito diferentes, e usadas para representar dois importantes objetos matemáticos relacionados a funções diferenciáveis.

O que é derivado?

A derivada de uma função mede a taxa na qual o valor da função muda à medida que sua entrada é alterada. Nas funções multivariáveis, a mudança no valor da função depende da direção da mudança dos valores das variáveis ​​independentes. Portanto, nesses casos, uma direção específica é escolhida e a função é diferenciada nessa direção específica. Essa derivada é chamada derivada direcional. Derivadas parciais são um tipo especial de derivadas direcionais.

Derivada de uma função com valor vetorial f pode ser definido como o limite onde quer que exista finitamente. Como mencionado anteriormente, isso nos dá a taxa de aumento da função f ao longo da direção do vetor você. No caso de uma função de valor único, isso se reduz à bem conhecida definição de derivada,  

Por exemplo, é em todo lugar diferenciável e a derivada é igual ao limite, , que é igual a . Os derivados de funções como   existe em todo lugar. Eles são respectivamente iguais às funções .                                                                                

Isso é conhecido como o primeiro derivado. Geralmente a primeira derivada da função f é indicado por f ⁽¹⁾. Agora, usando esta notação, é possível definir derivadas de ordem superior. é a derivada direcional de segunda ordem e denota o n^º derivado por f ⁽ⁿ⁾ para cada n, ,  define o n^º derivado.

O que é diferencial?

O diferencial de uma função representa a mudança na função em relação às mudanças na (s) variável (s) independente (s). Na notação usual, para uma determinada função f de uma única variável x, o diferencial total da ordem 1 df é dado por, . Isso significa que, para uma mudança infinitesimal na x(ou seja, dx), haverá um  f ⁽¹⁾(x) dx mudança em f.

Usando limites, pode-se terminar com essa definição da seguinte maneira. Suponha que ∆x é a mudança x em um ponto arbitrário x e ∆f é a alteração correspondente na função f. Pode ser demonstrado que ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, onde ϵ é o erro. Agora, o limite ∆x →0 0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (usando a definição de derivada anteriormente declarada) e, portanto, ∆x →0 0^ϵ/_∆x= 0. Portanto, é possível concluir que, ∆x →0 0ϵ = 0. Agora, denotando ∆x →0 ∆f como df e ∆x →0 ∆x como dx a definição do diferencial é rigorosamente obtida. 

Por exemplo, o diferencial da função é .

No caso de funções de duas ou mais variáveis, o diferencial total de uma função é definido como a soma dos diferenciais nas direções de cada uma das variáveis ​​independentes. Matematicamente, pode ser indicado como .