Diferença entre Riemann Integral e Lebesgue Integral

Lebesgue Integral vs Riemann Integral

A integração é um tópico principal no cálculo. Num sentido mais abrangente, a integração pode ser vista como o processo inverso de diferenciação. Ao modelar problemas do mundo real, é fácil escrever expressões envolvendo derivadas. Em tal situação, a operação de integração é necessária para encontrar a função, que forneceu a derivada específica.

Por outro ângulo, a integração é um processo, que resume o produto de uma função ƒ (x) e δx, onde δx tende a ser um determinado limite. É por isso que usamos o símbolo de integração como ∫. O símbolo ∫ é, de fato, o que obtemos esticando a letra s para nos referir à soma.

Riemann Integral

Considere uma função y = ƒ (x). A integral de y entre uma e b, Onde uma e b pertencer a um conjunto x, é escrito como _b∫^umaƒ (x) dx = [F(x)]_uma→b = F(b) - F(uma) Isso é chamado de integral definida da função de valor único e contínua y = ƒ (x) entre a e b. Isso fornece a área sob a curva entre uma e b. Isso também é chamado de integral de Riemann. A integral de Riemann foi criada por Bernhard Riemann. A integral de Riemann de uma função contínua é baseada na medida de Jordan, portanto, também é definida como o limite das somas de Riemann da função. Para uma função com valor real definida em um intervalo fechado, a integral de Riemann da função em relação a uma partição x₁, x₂,…, X_n definido no intervalo [a, b] et₁, t₂,…, T_n, onde x_Eu ≤ t_Eu ≤ x_{i + 1} para cada i ε 1, 2,…, n, a soma de Riemann é definida como Σ_{i = o para n-1} ƒ (t_Eu) (x_{i + 1} - x_Eu).

Lebesgue Integral

Lebesgue é outro tipo de integral, que abrange uma ampla variedade de casos, além da integral de Riemann. A integral de lebesgue foi introduzida por Henri Lebesgue em 1902. A integração de legesgue pode ser considerada como uma generalização da integração de Riemann.

Por que precisamos estudar outra integral?

Vamos considerar a função característica ƒ_{A (x) = 0 se, x não ε A}^{1 se, x ε A} em um conjunto A. Então combinação linear finita de funções características, que é definida como F(x) = Σ a_EuƒE_Eu(x) é chamada de função simples se E_Eu é mensurável para cada i. A integral de Lebesgue de F(x) acima E é indicado por _E(X) dx. A função F(x) não é integrável pela Riemann. Portanto, integral de Lebesgue é reformulada integral de Riemann, que possui algumas restrições nas funções a serem integradas.