Diferença entre transformadas de Laplace e de Fourier

Transformadas de Laplace vs Fourier
 

As transformadas de Laplace e Fourier são transformadas integrais, que são mais comumente empregadas como métodos matemáticos para resolver sistemas físicos modelados matematicamente. O processo é simples. Um modelo matemático complexo é convertido em um modelo mais simples e solucionável usando uma transformação integral. Uma vez resolvido o modelo mais simples, é aplicada a transformação integral inversa, que forneceria a solução para o modelo original.

Por exemplo, como a maioria dos sistemas físicos resulta em equações diferenciais, eles podem ser convertidos em equações algébricas ou, em menor grau, em equações diferenciais facilmente solucionáveis ​​usando uma transformação integral. Então, resolver o problema ficará mais fácil.

O que é a transformada de Laplace?

Dada uma função f (t) de uma variável real t, sua transformada de Laplace é definida pela integral (sempre que existir), que é uma função de uma variável complexa s. Geralmente é indicado por L f (t). A transformação inversa de Laplace de uma função F(s) é considerado a função f (t) de forma que L f (t) = F(s) e na notação matemática usual que escrevemos, L ^-1F(s) = f (t).A transformação inversa pode ser feita exclusiva se funções nulas não forem permitidas. Pode-se identificar esses dois como operadores lineares definidos no espaço de funções, e também é fácil ver que, L ^-1 EU f (t) = f (t), se funções nulas não forem permitidas.

A tabela a seguir lista as transformações de Laplace de algumas das funções mais comuns.

O que é a transformada de Fourier?

Dada uma função f (t) de uma variável real t, sua transformada de Laplace é definida pela integral (sempre que existir) e geralmente é indicado por F f (t). A transformação inversa F ^-1F(α) é dada pela integral . A transformada de Fourier também é linear e pode ser pensada como um operador definido no espaço de funções.

Usando a transformação de Fourier, a função original pode ser escrita da seguinte maneira, desde que a função tenha apenas um número finito de descontinuidades e seja absolutamente integrável.

Qual é a diferença entre as transformadas de Laplace e de Fourier?

• Transformada de Fourier de uma função f (t) é definido como , Considerando que a transformada de Laplace é definida como .
• A transformação de Fourier é definida apenas para funções definidas para todos os números reais, enquanto a transformação de Laplace não exige que a função seja definida no conjunto de números reais negativos.
• A transformação de Fourier é um caso especial da transformação de Laplace. Pode-se ver que ambos coincidem com números reais não negativos. (ou seja, tirar s no Laplace para ser iα + β Onde α e β são reais de tal forma que e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Toda função que possui uma transformação de Fourier terá uma transformação de Laplace, mas não vice-versa.