Diferença entre Integração e Somatório

Integração vs Somatório
 

Na matemática acima do ensino médio, a integração e a soma são frequentemente encontradas em operações matemáticas. Eles são aparentemente usados ​​como ferramentas diferentes e em situações diferentes, mas compartilham um relacionamento muito próximo.

Mais sobre Somatório

A soma é a operação de adição de uma sequência de números e a operação é frequentemente indicada pela letra grega do capital sigma Σ. É usado para abreviar a soma e igual à soma / total da sequência. Eles são frequentemente usados ​​para representar a série, que são essencialmente sequências infinitas resumidas. Eles também podem ser usados ​​para indicar a soma de vetores, matrizes ou polinômios.

A soma é geralmente feita para um intervalo de valores que podem ser representados por um termo geral, como uma série que possui um termo comum. O ponto inicial e o ponto final do somatório são conhecidos como o limite inferior e o limite superior do somatório, respectivamente.

Por exemplo, a soma da sequência a₁, uma₂, uma₃, uma₄, … , uma_n é um₁ + uma₂ + uma₃ +… + A_n que pode ser facilmente representado usando a notação de soma como ∑ⁿ_{i = 1} uma_Eu; eu sou chamado índice de soma.

Muitas variações são usadas para a soma com base no aplicativo. Em alguns casos, o limite superior e o limite inferior podem ser dados como um intervalo ou um intervalo, como ∑_1≤i≤100 uma_Eu e ∑_{i∈ [1.100]} uma_Eu. Ou pode ser fornecido como um conjunto de números como ∑_i∈P uma_Eu , onde P é um conjunto definido.

Em alguns casos, dois ou mais sinais sigma podem ser usados, mas podem ser generalizados da seguinte maneira; ∑_j ∑_k uma_jk = ∑_{j, k} uma_jk.

Além disso, a soma segue muitas regras algébricas. Como a operação incorporada é a adição, muitas das regras comuns da álgebra podem ser aplicadas às somas em si e aos termos individuais representados pelo somatório.

Mais sobre integração

A integração é definida como o processo inverso de diferenciação. Mas, em sua visão geométrica, também pode ser considerada como a área delimitada pela curva da função e pelo eixo. Portanto, o cálculo da área fornece o valor de uma integral definida, conforme mostrado no diagrama.

Fonte da imagem: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

O valor da integral definida é na verdade a soma das pequenas tiras dentro da curva e do eixo. A área de cada faixa é a altura × largura no ponto do eixo considerado. Largura é um valor que podemos escolher, por exemplo, x. E height é aproximadamente o valor da função no ponto considerado, digamos f(x_Eu) A partir do diagrama, é evidente que quanto menores as tiras, melhor as tiras cabem dentro da área delimitada, portanto, melhor aproximação do valor.

Então, em geral a integral definida Eu, entre os pontos aeb (ou seja, no intervalo [a, b] em que aEu ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, onde n é o número de tiras (n = (b-a) / ∆x). Esse somatório da área pode ser facilmente representado usando a notação de somatório como Eu ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_Eu) ∆x. Como a aproximação é melhor quando ∆x é menor, podemos calcular o valor quando →x → 0. Portanto, é razoável dizer Eu = lim_{→x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_Eu) ∆x.

Como generalização a partir do conceito acima, podemos escolher o basedx com base no intervalo considerado indexado por i (escolhendo a largura da área com base na posição). Então nós temos

Eu= lim_{→x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_Eu) ∆x_Eu = _uma∫^b f(x) dx

Isso é conhecido como o Reimann Integral da função f(x) no intervalo [a, b]. Nesse caso, aeb são conhecidos como o limite superior e o limite inferior da integral. A integral de Reimann é uma forma básica de todos os métodos de integração.

Em essência, integração é a soma da área quando a largura do retângulo é infinitesimal.

Qual é a diferença entre Integração e Somatório?

• Soma é somar uma sequência de números. Geralmente, o somatório é dado nesta forma ∑ⁿ_{i = 1} uma_Eu quando os termos na sequência têm um padrão e podem ser expressos usando um termo geral.

• Integração é basicamente a área delimitada pela curva da função, pelo eixo e pelos limites superior e inferior. Essa área pode ser dada como a soma de áreas muito menores incluídas na área delimitada.

• A soma envolve os valores discretos com os limites superior e inferior, enquanto a integração envolve valores contínuos.

• A integração pode ser interpretada como uma forma especial de soma.

• Nos métodos de computação numérica, a integração é sempre realizada como um somatório.