Diferença entre integrais definidos e indefinidos

Integrais Definidos x Indefinidos

O cálculo é um ramo importante da matemática e a diferenciação desempenha um papel crítico no cálculo. O processo inverso da diferenciação é conhecido como integração, e o inverso é conhecido como integral, ou simplesmente, o inverso da diferenciação fornece uma integral. Com base nos resultados que eles produzem, as integrais são divididas em duas classes; integrais definidas e indefinidas.

Mais sobre Integrais Indefinidos

A integral indefinida é mais uma forma geral de integração e pode ser interpretada como o anti-derivado da função considerada. Suponha que a diferenciação de F dê f, e a integração de f dê a integral. É frequentemente escrito como F (x) = ∫ƒ (x) dx ou F = d dx onde F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável. Na forma acima, é chamada de integral de Reimann e a função resultante acompanha uma constante arbitrária. Uma integral indefinida geralmente produz uma família de funções; portanto, a integral é indefinida.

Integrais e processo de integração estão no centro da resolução de equações diferenciais. No entanto, diferentemente da diferenciação, a integração nem sempre segue uma rotina clara e padrão; às vezes, a solução não pode ser expressa explicitamente em termos de função elementar. Nesse caso, a solução analítica é frequentemente dada na forma de uma integral indefinida.

Mais sobre Integrais Definidos

Integrais definidas são as contrapartes muito valiosas de integrais indefinidas, nas quais o processo de integração realmente produz um número finito. Pode ser definida graficamente como a área delimitada pela curva da função ƒ dentro de um determinado intervalo. Sempre que a integração é realizada dentro de um determinado intervalo da variável independente, a integração produz um valor definido que geralmente é escrito como _uma∫^bƒ (x) dx ou _uma∫^b ƒdx.

As integrais indefinidas e integrais definidas são interconectadas através do primeiro teorema fundamental do cálculo, e isso permite que a integral definida seja calculada usando as integrais indefinidas. O teorema afirma _uma∫^bƒ (x) dx = F (b) -F (a) onde F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável no intervalo (a, b). Considerando o intervalo, aeb são conhecidos como limite inferior e superior, respectivamente.

Em vez de parar apenas com funções reais, a integração pode ser estendida a funções complexas e essas integrais são chamadas integrais de contorno, onde ƒ é uma função da variável complexa.

Qual é a diferença entre Integrais Definidos e Indefinidos?

Integrais indefinidas representam o anti-derivado de uma função e, freqüentemente, uma família de funções, em vez de uma solução definida. Em integrais definidas, a integração fornece um número finito.

Integrais indefinidas associam uma variável arbitrária (daí a família de funções) e integrais definidas não têm uma constante arbitrária, mas um limite superior e um limite inferior de integração.

Integral indefinida geralmente fornece uma solução geral para a equação diferencial.