Diferença entre integrais definidos e indefinidos

O cálculo é um ramo importante da matemática e a diferenciação desempenha um papel crítico no cálculo. O processo inverso da diferenciação é conhecido como integração, e o inverso é conhecido como integral, ou simplesmente, o inverso da diferenciação fornece uma integral. Com base nos resultados que eles produzem, as integrais são divididas em duas classes: integrais definidas e indefinidas.

Integral definida

A integral definida de f (x) é um número e representa a área sob a curva f (x) a partir de x = a para x = b.

Uma integral definida tem limites superior e inferior nas integrais, e é chamada definida porque, no final do problema, temos um número - é uma resposta definida.

Integral indefinida

A integral indefinida de f (x) é uma FUNÇÃO e responde à pergunta: “Que função quando diferenciada dá f (x)?"

Com uma integral indefinida, não há limites superiores e inferiores na integral aqui, e o que obteremos é uma resposta que ainda tem xestá nele e também terá uma constante (geralmente indicada por C) iniciar.

Integral indefinida geralmente fornece uma solução geral para a equação diferencial.

Integral indefinida é mais uma forma geral de integração e pode ser interpretada como o anti-derivado da função considerada.

Suponha diferenciação de função F leva a outra função f, e a integração de f fornece a integral. Simbolicamente, isso é escrito como

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ou

F = xƒ dx

onde ambos F e ƒ são funções de x, e F é diferenciável. Na forma acima, é chamada de integral de Reimann e a função resultante acompanha uma constante arbitrária.

Uma integral indefinida geralmente produz uma família de funções; portanto, a integral é indefinida.

Integrais e processo de integração estão no centro da resolução de equações diferenciais. No entanto, diferentemente das etapas de diferenciação, as etapas de integração nem sempre seguem uma rotina clara e padrão. Ocasionalmente, vemos que a solução não pode ser expressa explicitamente em termos de função elementar. Nesse caso, a solução analítica é frequentemente dada na forma de uma integral indefinida.

Teorema Fundamental do Cálculo

A integral definida e a indefinida são vinculadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo da seguinte forma: Para calcular uma integral definida, encontre o integral indefinida (também conhecido como anti-derivado) da função e avaliar nos pontos finais x = a e x = b.

A diferença entre integrais definidas e indefinidas será evidente quando avaliarmos as integrais para a mesma função.

Considere a seguinte integral:

ESTÁ BEM. Vamos fazer os dois e ver a diferença.

Para integração, precisamos adicionar um ao índice, o que nos leva à seguinte expressão:

Neste ponto do tempo C é apenas uma constante para nós. Informações adicionais são necessárias no problema para determinar o valor preciso de C.

Vamos avaliar a mesma integral em sua forma definida, ou seja, com os limites superior e inferior incluídos.

Graficamente falando, agora estamos computando a área sob a curva f (x) = y³ entre y = 2 e y = 3.

O primeiro passo nesta avaliação é o mesmo que a avaliação integral indefinida. A única diferença é que desta vez não adicionamos a constante C.

A expressão neste caso tem a seguinte aparência:

Essa é a vez que leva a:

Substituímos essencialmente 3 e depois 2 na expressão e obtivemos a diferença entre eles.

Este é o valor definido, em oposição ao uso de constante C mais cedo.

Vamos explorar o fator constante (em relação à integral indefinida) com mais detalhes.

Se o diferencial de y³ é 3anos², então

∫3anos²dy = y³

Contudo, 3anos² poderia ser o diferencial de muitas expressões, algumas das quais incluem y³-5, y³+7, etc… Isso implica que a reversão não é única, pois a constante não é contabilizada durante a operação.

Então, em geral, 3anos² é o diferencial de y³+C Onde C é qualquer constante. Aliás, C é conhecido como o 'constante de integração'.

Nós escrevemos isso como:

∫ 3anos².dx = y³ + C

As técnicas de integração para uma integral indefinida, como pesquisa de tabela ou integração com Risch, podem adicionar novas descontinuidades durante o processo de integração. Essas novas descontinuidades aparecem porque os anti-derivados podem exigir a introdução de logaritmos complexos.

Logaritmos complexos têm uma descontinuidade de salto quando o argumento cruza o eixo real negativo, e os algoritmos de integração às vezes não conseguem encontrar uma representação onde esses saltos cancelam.

Se a integral definida for avaliada calculando primeiro uma integral indefinida e depois substituindo os limites de integração no resultado, devemos estar cientes de que a integração indefinida pode produzir descontinuidades. Além disso, devemos investigar as descontinuidades no intervalo de integração.