Diferença entre Power Series e Taylor Series

Power Series vs Taylor Series

Em matemática, uma sequência real é uma lista ordenada de números reais. Formalmente, é uma função do conjunto de números naturais para o conjunto de números reais. E se uma_né então^º termo de uma sequência, denotamos a sequência por ou por uma₁, uma₂,… ,uma_n,… .Por exemplo, considere a sequência 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,... Pode ser indicado como 1 / n.

É possível definir uma série usando sequências. Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Portanto, para cada sequência, há uma sequência associada e vice-versa. Se um_n é a sequência em consideração, então, as séries formadas por essa sequência podem ser representadas como:                                           

 Assim, no exemplo acima, a série associada é 1+¹/₂+¹/₃+...  + ¹/_n +... . 

Como os nomes sugerem, a série de potências é um tipo especial de série e é amplamente utilizada em Análise Numérica e modelagem matemática relacionada. A série Taylor é uma série especial de energia que fornece uma maneira alternativa e fácil de manipular de representar funções conhecidas.

O que é a série Power?

Uma série de potências é uma série da forma

    

que é convergente (possivelmente) para algum intervalo centrado em c. Os coeficientes uma_n podem ser números reais ou complexos e é independente de x; isto é. a variável dummy.

Por exemplo, definindo uma_n= 1 para cada n, e c = 0, a série de potências 1 + x + x²+… + Xⁿ+… é obtido. É fácil observar que quando x ε (-1,1), essa série de potências converge para 1 / (1-x).          

Uma série de potência converge quando x = c. Os outros valores de x para o qual a série de potência converge sempre terá a forma de um intervalo aberto centrado em c. Isso é, haverá um valor 0≤ R ≤ ∞ tal que para cada x satisfazendo | x-c | ≤R, a série de potência é convergente e para cada x  satisfatório | x-c |>R, a série de potência é divergente. Esse valor R é chamado raio de convergência da série de potências (R pode assumir qualquer valor real ou infinito positivo).

As séries de potência podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas usando as seguintes regras. Considere as duas séries de potência:       

   

                               .

Então,                 

isto é. termos semelhantes são adicionados ou subtraídos juntos. Além disso, é possível multiplicar e dividir as duas séries de poder usando a identidade,

O que é a série Taylor?

A série Taylor é definida para uma função f(x) que é infinitamente diferenciável em um intervalo. Presumir f(x) é diferenciável em um intervalo centrado em c. Então a série de potências que é dada por

                                                                                                                                

é chamado de expansão da série Taylor da função f(x) sobre c. (Aqui fⁿ⁾(c) Denotam n^º derivado em x = c) Na Análise Numérica, um número finito de termos nessa expansão infinita é usado no cálculo de valores em pontos em que a série é convergente à função original.

Uma função f(x) é considerado analítico no intervalo (a, b), se para cada x ε (a, b), a série de Taylor f(x) converge para a função f(x) Por exemplo, 1 / (1-x) é analítico em (-1,1), pois sua expansão de Taylor 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Converge para a função nesse intervalo e e^x  é analítico em todos os lugares, já que a série de Taylor e^xconverge para e^x para cada número real x.

Qual é a diferença entre as séries Power e Taylor?

1. A série Taylor é uma classe especial de séries de potência definida apenas para funções que são infinitamente diferenciáveis ​​em algum intervalo aberto.

2. A série Taylor assume o formato especial

        

Considerando que, uma série de potências pode ser qualquer série da forma