Diferença entre ortogonal e ortonormal

Orthogonal vs Orthonormal

Em matemática, as duas palavras ortogonal e ortonormal são frequentemente usadas junto com um conjunto de vetores. Aqui, o termo 'vetor' é usado no sentido de que é um elemento de um espaço vetorial - uma estrutura algébrica usada em álgebra linear. Para nossa discussão, consideraremos um espaço interno do produto - um espaço vetorial V junto com um produto interno [] definido em V.

Como exemplo, para um produto interno, space é o conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais, juntamente com o produto pontual usual.

O que é ortogonal?

Um subconjunto não vazio S de um espaço interno do produto V é dito ser ortogonal, se e somente se para cada distinto vc v dentro S, [u, v] = 0; isto é, o produto interno de você e v é igual ao escalar zero no espaço interno do produto.

Por exemplo, no conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais, isso equivale a dizer que, para cada par distinto de vetores de posição p e q em S, p e q são perpendiculares entre si. (Lembre-se de que o produto interno nesse espaço vetorial é o produto pontual. Além disso, o produto pontual de dois vetores é igual a 0 se e somente se os dois vetores forem perpendiculares um ao outro.)

Considere o conjunto S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), que é um subconjunto dos vetores de posição tridimensionais. Observe que (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 e (0,2,0).(0,0,5) = 0. Portanto, o conjunto S é ortogonal. Em particular, diz-se que dois vetores são ortogonais se seu produto interno for 0. Portanto, cada par de vetores em Sé ortogonal.

O que é ortonormal?

Um subconjunto não vazio S de um espaço interno do produto V é dito ser ortonormal se e somente se S é ortogonal e para cada vetor você dentro S, [u, u] = 1. Portanto, pode-se ver que todo conjunto ortonormal é ortogonal, mas não vice-versa.

Por exemplo, no conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais, isso equivale a dizer que, para cada par distinto de vetores de posição p e q dentro S, p e q são perpendiculares entre si e para cada p dentro S, | p | = 1. Isso ocorre porque a condição [p, p] = 1 reduz para p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, que é equivalente a | p | = 1. Portanto, dado um conjunto ortogonal, sempre podemos formar um conjunto ortonormal correspondente dividindo cada vetor por sua magnitude.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) é um subconjunto ortonormal do conjunto de todos os vetores de posição tridimensionais. É fácil ver que foi obtido dividindo cada um dos vetores no conjunto S, por suas magnitudes.

Qual é a diferença entre ortogonal e ortonormal?

• Um subconjunto não vazio S de um espaço interno do produto V é dito ser ortogonal, se e somente se para cada distinto vc v dentro S, [u, v] = 0. No entanto, é ortonormal, se e somente se uma condição adicional - para cada vetor você dentro S, [u, u] = 1 está satisfeito.
• Qualquer conjunto ortonormal é ortogonal, mas não vice-versa.
• Qualquer conjunto ortogonal corresponde a um conjunto ortogonal exclusivo, mas um conjunto ortogonal pode corresponder a muitos conjuntos ortogonais.