Diferença entre eventos mutuamente exclusivos e independentes

Eventos mutuamente exclusivos vs independentes

As pessoas freqüentemente confundem o conceito de eventos mutuamente exclusivos com eventos independentes. De fato, essas são duas coisas diferentes.

Seja A e B quaisquer dois eventos associados a um experimento aleatório E. P (A) é chamado de “Probabilidade de A”. Da mesma forma, podemos definir a probabilidade de B como P (B), a probabilidade de A ou B como P (A∪B) e a probabilidade de A e B como P (A∩B). Então, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

No entanto, dois eventos considerados mutuamente exclusivos se a ocorrência de um evento não afetar o outro. Em outras palavras, eles não podem ocorrer simultaneamente. Portanto, se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então A∩B = ∅ e, portanto, isso implica P (A∪B) = P (A) + P (B).

Sejam A e B dois eventos em um espaço de amostra S. A probabilidade condicional de A, dado que B ocorreu, é denotada por P (A | B) e é definida como; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), desde que P (B)> 0. (caso contrário, não está definido.)

Um evento A é considerado independente de um evento B, se a probabilidade de A ocorrer não for influenciada pela ocorrência ou não de B. Em outras palavras, o resultado do evento B não afeta o resultado do evento A. Portanto, P (A | B) = P (A). Da mesma forma, B é independente de A se P (B) = P (B | A). Portanto, podemos concluir que, se A e B são eventos independentes, então P (A∩B) = P (A) .P (B)

Suponha que um cubo numerado seja rolado e uma moeda válida seja lançada. Seja A o evento que obtém uma cabeça e B seja o evento que rola um número par. Então podemos concluir que os eventos A e B são independentes, porque esse resultado de um não afeta o resultado do outro. Portanto, P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Como P (A∩B) ≠ 0, A e B não podem ser mutuamente exclusivos.

Suponha que uma urna contenha 7 bolinhas brancas e 8 bolinhas pretas. Defina o evento A como desenhar um mármore branco e o evento B como desenhar um mármore preto. Supondo que cada mármore seja substituído após anotar sua cor, P (A) e P (B) sempre serão os mesmos, não importando quantas vezes extrairmos a urna. Substituir os mármores significa que as probabilidades não mudam de um desenho para outro, independentemente da cor que escolhemos no último desenho. Portanto, os eventos A e B são independentes.

No entanto, se os mármores foram desenhados sem substituição, tudo muda. Sob essa suposição, os eventos A e B não são independentes. Desenhar um mármore branco na primeira vez altera as probabilidades de desenhar um mármore preto no segundo desenho e assim por diante. Em outras palavras, cada sorteio afeta o próximo sorteio e, portanto, os sorteios individuais não são independentes.