Diferença entre associativo e comutativo

Associativo vs Comutativo
 

No nosso dia-a-dia, temos que usar números sempre que precisamos medir algo. No supermercado, no posto de gasolina e até na cozinha, precisamos adicionar, subtrair e multiplicar duas ou mais quantidades. De nossa prática, realizamos esses cálculos sem esforço. Nunca percebemos ou questionamos por que realizamos essas operações dessa maneira específica. Ou por que esses cálculos não podem ser feitos de uma maneira diferente. A resposta está oculta na maneira como essas operações são definidas no campo matemático da álgebra.

Na álgebra, uma operação envolvendo duas quantidades (como adição) é definida como uma operação binária. Mais precisamente, é uma operação entre dois elementos de um conjunto e esses elementos são chamados de 'operando'. Muitas operações em matemática, incluindo operações aritméticas mencionadas anteriormente e as encontradas na teoria dos conjuntos, álgebra linear e lógica matemática, podem ser definidas como operações binárias.

Há um conjunto de regras aplicáveis ​​a uma operação binária específica. Propriedades associativas e comutativas são duas propriedades fundamentais das operações binárias.

Mais sobre Propriedade Comutativa

Suponha que alguma operação binária, indicada pelo símbolo ⊗, seja executada nos elementos UMA e B. Se a ordem dos operandos não estiver afetando o resultado da operação, diz-se que a operação é comutativa. ou seja, se UMA ⊗ B = B ⊗ UMA então a operação é comutativa.

A adição e multiplicação de operações aritméticas são comutativas. A ordem dos números somados ou multiplicados não afeta a resposta final:

UMA + B = B + UMA     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

UMA × B = B × UMA     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Mas, no caso da divisão, a mudança na ordem dá o recíproco do outro, e na subtração a mudança dá o negativo do outro. Portanto,

UMA - B ≠ B - UMA     ⇒ 4-5 = -1 e 5-4 = 1

UMA ÷ B ≠ B ÷ UMA     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 e 5 ÷ 4 = 1,25 [neste caso UMA,B And 1 e 0]

De fato, a subtração é considerada anti-comutativa; Onde UMA - B = - (B - UMA).

Além disso, os conectivos lógicos, a conjunção, disjunção, implicação e equivalência também são comutativos. As funções da verdade também são comutativas. A união e interseção das operações definidas são comutativas. A adição e o produto escalar dos vetores também são comutativos.

Mas a subtração vetorial e o produto vetorial não são comutativos (o produto vetorial de dois vetores é anti-comutativo). A adição da matriz é comutativa, mas a multiplicação e a subtração não são comutativas. (A multiplicação de duas matrizes pode ser comutativa em casos especiais, como a multiplicação de uma matriz com sua matriz inversa ou de identidade; mas definitivamente as matrizes não são comutativas se as matrizes não forem do mesmo tamanho)

Mais sobre Propriedade Associativa

Uma operação binária é considerada associativa se a ordem da execução não afetar o resultado quando duas ou mais ocorrências do operador estiverem presentes. Considere os elementos A, B e C e a operação binária ⊗. Diz-se que a operação é associativa se

UMA ⊗ B ⊗ C = UMA ⊗ (B ⊗ C) = (UMA ⊗ B) ⊗ C

Das funções aritméticas básicas, apenas a adição e a multiplicação são associativas.

UMA + (B + C) = (UMA + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

UMA × (B × C) = (UMA × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

A subtração e divisão não são associativas;

UMA - (B - C) ≠ (UMA - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 e (5 - 4) - 3 = -2

UMA ÷ (B ÷ C) ≠ (UMA ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 e (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

A disjunção, conjunção e equivalência de conectivos lógicos são associativas, assim como a união e interseção das operações definidas. A adição de matriz e vetor é associativa. O produto escalar de vetores é associativo, mas o produto vetorial não é. A multiplicação de matrizes é associativa apenas em circunstâncias especiais.

Qual é a diferença entre Propriedade Comutativa e Associativa?

• A propriedade associativa e a propriedade comutativa são propriedades especiais das operações binárias, e algumas as satisfazem e outras não..

• Essas propriedades podem ser vistas em muitas formas de operações algébricas e outras operações binárias em matemática, como a interseção e união na teoria dos conjuntos ou nos conectivos lógicos.

• A diferença entre comutativa e associativa é que a propriedade comutativa afirma que a ordem dos elementos não altera o resultado final, enquanto a propriedade associativa afirma que a ordem na qual a operação é executada não está afetando a resposta final..