Diferença entre Sequência Aritmética e Sequência Geométrica

Sequência Aritmética vs Sequência Geométrica
 

O estudo dos padrões de números e seu comportamento é um estudo importante no campo da matemática. Muitas vezes, esses padrões podem ser vistos na natureza e nos ajudam a explicar seu comportamento em um ponto de vista científico. Seqüências aritméticas e seqüências geométricas são dois dos padrões básicos que ocorrem em números e frequentemente encontrados em fenômenos naturais..

A sequência é um conjunto de números ordenados. O número de elementos na sequência pode ser finito ou infinito.

Mais sobre Sequência Aritmética (Progressão Aritmétrica)

Uma sequência aritmética é definida como uma sequência de números com uma diferença constante entre cada termo consecutivo. Também é conhecido como progressão aritmética.

Sequência aritmética ⇒ a₁, uma₂, uma_3, uma₄,… , uma_n ; onde um₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d e assim por diante.

Se o termo inicial for um₁ e a diferença comum é d, então n^º o termo da sequência é dado por;

uma_n = a₁ + (n-1) d

Ao levar o resultado acima adiante, o n^º termo pode ser dado também como;

uma_n = a_m + (n-m) d, onde um_m é um termo aleatório na sequência, de modo que n> m.

O conjunto de números pares e o conjunto de números ímpares são os exemplos mais simples de sequências aritméticas, em que cada sequência tem uma diferença comum (d) de 2.

O número de termos em uma sequência pode ser infinito ou finito. No caso infinito (n → ∞), a sequência tende ao infinito, dependendo da diferença comum (a_n → ± ∞). Se a diferença comum for positiva (d> 0), a sequência tenderá ao infinito positivo e, se a diferença comum for negativa (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

A soma dos termos na sequência aritmética é conhecida como série aritmética: S_n= a₁ + uma₂ + uma₃ + uma₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} uma_Eu; e S_n = (n / 2) (a₁ + uma_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] fornece o valor da série (S_n).

Mais sobre Sequência geométrica (Progressão geométrica)

Uma sequência geométrica é definida como uma sequência na qual o quociente de dois termos consecutivos é uma constante. Isso também é conhecido como progressão geométrica.

Sequência geométrica ⇒ a₁, uma₂, uma₃, uma₄,… , uma_n; onde um₂/uma₁ = r, a₃/uma₂ = r e assim por diante, onde r é um número real.

É mais fácil representar a sequência geométrica usando a razão comum (r) e o termo inicial (a). Daí a sequência geométrica ⇒ a₁, uma₁r, a₁r², uma₁r³,… , uma₁r^n-1.

A forma geral do n^º termos dados por um_n = a₁r^n-1. (Perder o subscrito do termo inicial ⇒ a_n = ar^n-1)

A sequência geométrica também pode ser finita ou infinita. Se o número de termos for finito, diz-se que a sequência é finita. E se os termos são infinitos, a sequência pode ser infinita ou finita, dependendo da razão r. A proporção comum afeta muitas das propriedades em seqüências geométricas. 

r> o	0 0 < r < +1	A sequência converge - decaimento exponencial, ou seja, umn → 0, n → ∞
	r = 1	Sequência constante, isto é, uman = constante
	r> 1	A sequência diverge - crescimento exponencial, isto é, umn → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	A sequência está oscilando, mas converge
	r = 1	A sequência é alternada e constante, ou seja, umn = ± constante
	r < -1	A sequência é alternada e diverge. isto é, umn → ± ∞, n → ∞
r = 0	A sequência é uma sequência de zeros

N.B: Em todos os casos acima, um₁ > 0; se um₁ < 0, the signs related to a_n será invertido.

O intervalo de tempo entre os saltos de uma bola segue uma sequência geométrica no modelo ideal e é uma sequência convergente.

A soma dos termos da sequência geométrica é conhecida como uma série geométrica; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^Eu. A soma das séries geométricas pode ser calculada usando a seguinte fórmula.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); onde a é o termo inicial er é a razão.

Se a razão, r ≤ 1, a série converge. Para uma série infinita, o valor da convergência é dado por S_n = a / (1-r) 

Qual é a diferença entre Sequência / Progressão Aritmética e Geométrica?

• Em uma sequência aritmética, quaisquer dois termos consecutivos têm uma diferença comum (d) enquanto, na sequência geométrica, quaisquer dois termos consecutivos têm um quociente constante (r).

• Em uma sequência aritmética, a variação dos termos é linear, ou seja, uma linha reta pode ser desenhada passando por todos os pontos. Em uma série geométrica, a variação é exponencial; crescendo ou decaindo com base na razão comum.

• Todas as seqüências aritméticas infinitas são divergentes, enquanto as séries geométricas infinitas podem ser divergentes ou convergentes.

• A série geométrica pode mostrar oscilação se a razão r for negativa enquanto a série aritmética não exibir oscilação