Diferença entre aritmética e série geométrica

Aritmética vs Série Geométrica
 

A definição matemática de uma série está intimamente relacionada às seqüências. Uma sequência é um conjunto ordenado de números e pode ser um conjunto finito ou infinito. Uma sequência de números com a diferença entre dois elementos sendo uma constante é conhecida como progressão aritmética. Uma sequência com um quociente constante de dois números sucessivos é conhecida como progressão geométrica. Essas progressões podem ser finitas ou infinitas e, se finitas, o número de termos é contável, mas incontável.

Geralmente, a soma dos elementos em uma progressão pode ser definida como uma série. A soma de uma progressão aritmética é conhecida como série aritmética. Da mesma forma, a soma de uma progressão geométrica é conhecida como série geométrica.

Mais sobre a série aritmética

Em uma série aritmética, os termos sucessivos têm uma diferença constante.

S_n = a₁ + uma₂ + uma₃ + uma₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1} uma_Eu ; onde um₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d e assim por diante.

Essa diferença d é conhecida como diferença comum e n^º termo é dado por um_n = a₁+ (n-1) d; onde um₁ é o primeiro termo.

O comportamento da série muda com base na diferença comum d. Se a diferença comum é positiva, a progressão tende a ser infinito positivo e, se a diferença comum é negativa, tende a ser infinita..

A soma das séries pode ser obtida pela seguinte fórmula simples, que foi desenvolvida pela primeira vez pelo astrônomo e matemático indiano Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ uma_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

A soma S_n pode ser finito ou infinito, com base no número de termos.

Mais sobre Geometric Series

Uma série geométrica é uma série com o quociente dos números sucessivos constantes. É uma série importante encontrada no estudo da série, devido às propriedades que possui.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ar^Eu

Com base na razão r, o comportamento da série pode ser categorizado da seguinte maneira. r = | r | ≥1 série diverge; a série r≤1 converge. Além disso, se r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

A soma das séries geométricas pode ser calculada usando a seguinte fórmula. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); onde a é o termo inicial e r é a razão. Se a razão r≤1, a série converge. Para uma série infinita, o valor da convergência é dado por S_n= a / (1-r).

A série geométrica possui inúmeras aplicações nas áreas de ciências físicas, engenharia e economia

Qual é a diferença entre as séries aritmética e geométrica?

• Uma série aritmética é uma série com uma diferença constante entre dois termos adjacentes.

• Uma série geométrica é uma série com um quociente constante entre dois termos sucessivos.

• Todas as séries aritméticas infinitas são sempre divergentes, mas, dependendo da razão, as séries geométricas podem ser convergentes ou divergentes.

• As séries geométricas podem ter oscilação nos valores; isto é, os números mudam seus sinais alternativamente, mas a série aritmética não pode ter oscilações.