Diferença entre números racionais e irracionais

O termo "números" nos traz à mente o que geralmente é classificado como valores inteiros positivos maiores que zero. Outras classes de números incluem números inteiros e frações, complexo e numeros reais e também valores inteiros negativos.

Estendendo ainda mais as classificações dos números, encontramos racional e irracional números. Um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração. Em outras palavras, o número racional pode ser escrito como uma razão de dois números.

Considere, por exemplo, o número 6. Pode ser escrito como a razão de dois números viz. 6 e 1, levando à proporção 1/6. Da mesma forma, 2/3, que é escrito como uma fração, é um número racional.

Podemos, assim, definir um número racional, como um número escrito na forma de uma fração, em que tanto o numerador (o número na parte superior) quanto o denominador (o número na parte inferior) são números inteiros. Por definição, portanto, todo número inteiro também é um número racional.

Uma proporção de dois números grandes, como (129.367.871)/(547.724.863) constituiria também um exemplo de número racional pela simples razão de que o numerador e o denominador são números inteiros.

Inversamente, qualquer número que não possa ser expresso na forma de uma fração ou proporção é denominado como irracional. O exemplo mais comumente citado de um número irracional é √2 (1.414213...). Outro exemplo popular de um número irracional é a constante numérica π (3,141592 ).

Um número irracional pode ser escrito como decimal, mas não como uma fração. Os números irracionais não são frequentemente usados ​​na vida cotidiana, embora existam na linha numérica. Há um número infinito de números irracionais entre 0 0 e 1 na linha numérica. Um número irracional possui infinitos dígitos não repetitivos à direita do ponto decimal.

Observe que o valor frequentemente mencionado de 22/7 para a constante π é de fato apenas um dos valores de π. Por definição, a circunferência de um círculo dividido por duas vezes seu raio é o valor de π. Isso leva a vários valores de π, incluindo mas não limitado a, 333/106, 355/113 e assim por diante1.

Apenas as raízes quadradas dos números quadrados; ou seja, as raízes quadradas do quadrados perfeitos são racionais.

√1= 1 (Racional)

√2 (Irracional)

√3 (Irracional)

√4 = 2 (Racional)

√5, √6, √7, √8 (Irracional)

√9 = 3 (Racional) e assim por diante.

Além disso, observamos que apenas as nth raízes de nOs poderes são racionais. Então, o 6º raiz de 64 é racional, porque 64 é um 6º poder, nomeadamente o 6º desligar 2. Mas o 6º raiz de 63. é irracional. 63. não é perfeito 6º poder.

Inevitavelmente, a representação decimal de irracionais entra em cena e apresenta alguns resultados interessantes.

Quando expressamos uma racional número decimal, então o decimal será exato (como em 1/5= 0,20) ou será inexato (como em, 1/3 ≈ 0,3333) Em ambos os casos, haverá um padrão previsível de dígitos. Observe que quando um irracional número é expresso como um decimal, então claramente será inexato, porque, caso contrário, o número seria racional.

Além disso, não haverá um padrão previsível de dígitos. Por exemplo,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Agora, com números racionais, ocasionalmente encontramos 1/11 = 0,0909090.

O uso do sinal de igual (=) e três pontos (elipse) implica que, embora não seja possível expressar 1/11 exatamente como decimal, ainda podemos aproximá-lo com quantos dígitos decimais forem permitidos para se aproximar de 1/11.

Assim, a forma decimal de 1/11 é considerado inexato. Da mesma forma, a forma decimal de  ¼ que é 0,25, é exato.

Chegando à forma decimal para números irracionais, eles sempre serão inexatos. Continuando com o exemplo de √2, quando escrevemos √2 = 1.41421356237… (Observe o uso de reticências), implica imediatamente que nenhum decimal para √2 será exato. Além disso, não haverá um padrão previsível de dígitos. Usando conceitos de métodos numéricos, novamente, podemos racionalmente aproximar-se para o número de dígitos decimais até o ponto em que estamos próximos √2.

Qualquer observação sobre números racionais e irracionais não pode terminar sem a prova obrigatória de por que √2 é irracional. Ao fazê-lo, também elucidamos, o exemplo clássico de um prova por contradição.

Suponha que √2 é racional. Isso nos leva a representá-lo como uma razão de dois números inteiros, digamos p e q.

√2 = p / q

Escusado será dizer, p e q não possui fatores comuns, pois, se houvesse fatores comuns, nós os teríamos cancelado do numerador e do denominador.

Esquadrando os dois lados da equação, terminamos com,

2 = p2 / q2

Isso pode ser escrito convenientemente como,

p2 = 2q2

A última equação sugere que p2 é par. Isso é possível apenas se p em si é par. Por sua vez, isso implica que p2 é divisível por 4. Conseqüentemente, q2 e consequentemente q deve ser par. então p e q são ambos pares, o que é uma contradição à nossa suposição inicial de que eles não têm fatores comuns. portanto, √2 não pode ser racional. Q.E.D.