'Minimizar' e 'reduzir' são palavras que descrevem como diminuir as coisas. A diferença está no grau de pequenez que eles implicam e nas condições que serão aplicadas à mudança.
'Minimizar' vem da palavra latina 'minimus', que é um adjetivo que significa 'o menor'. A própria palavra significa fazer algo o menor possível ou torná-lo insignificante.
"Quando ela recontou a história, ela minimizou o problema, para que não levassem a sério."
"Este ano, seus objetivos são minimizar custos e maximizar lucros."
No mundo dos computadores, minimizar uma janela também significa tirá-la da tela. Em alguns computadores, isso será acompanhado pela imagem da janela - ou o contorno dela - diminuindo até que não possa ser vista. Maximizar a janela é o oposto e a colocará de volta.
'Reduzir', por outro lado, vem das palavras latinas 're', que significa 'voltar' como ao contrário, e 'duco', que significa levar uma pessoa, animal ou outro objeto a algum lugar. A palavra significa diminuir algo ou tirar algo de alguma maneira - metaforicamente, um passo atrás. Isso pode ser qualquer coisa, desde reduzir o conteúdo de água em um ensopado até reduzir o conteúdo de preenchimento de um romance até reduzir alguém na classificação. Redução significa que algo foi retirado, mas nem sempre de maneira negativa. Livrar-se de coisas indesejadas em um objeto ainda contará como uma redução.
No contexto que pode se sobrepor com 'minimizar', significa reduzir algo. Não há tamanho ou taxa especificada.
"Precisamos reduzi-lo em 30% na próxima vez."
"Os noivos conseguiram reduzir a lista de convidados para 50 pessoas".
Uma das frases-chave na definição de 'minimizar' é 'o menor possível'. Essa definição pode variar dependendo do item. Algumas pessoas consideram que "quanto possível" refere-se ao quão pequena a pessoa em questão pode ou vai derrubá-lo. Por exemplo, se alguém quisesse criar uma versão minimizada da Torre Eiffel, isso não significaria criar uma versão tão pequena quanto possível fisicamente. Se fosse, ela precisaria de um microscópio para ver seu trabalho. No entanto, se ela construísse uma torre tão pequena quanto pudesse razoavelmente, como criar um modelo menor que a unha, isso contaria como minimização.
Outro exemplo pode ser encontrado no varejo. Quando uma loja está vendendo um item, eles querem vendê-lo pelo menos tanto quanto pagam para recebê-lo. Caso contrário, eles perderiam dinheiro com as vendas. Esse valor seria o valor mínimo pelo qual o venderão, de modo que é possível minimizar o preço. Qualquer outro preço seria uma redução, não uma minimização.
Como uma redução é uma possível queda e uma minimização é a menor possível, é totalmente possível usar qualquer uma das palavras quando você está falando sobre uma minimização. Nesse caso, seria melhor usar 'minimizar' quando você descrever o tamanho da coisa e 'reduzir' quando quiser enfatizar que ela mudou.
Resumindo, 'minimizar' significa reduzir algo ao menor tamanho possível. A definição de "menor tamanho possível" pode depender do que as pessoas envolvidas pensam ser o menor dos preços razoáveis. 'Reduzir' significa reduzi-lo a qualquer quantidade, não necessariamente ao ponto mais baixo possível. Se algo é reduzido ao menor tamanho possível, é possível usar 'minimizar' e 'reduzir' para descrever o processo, mas o resto do tempo deve ser 'reduzir' ou um de seus sinônimos.